ایک حالیہانٹرویو، فرانسیسی фізиک اور سائنس کے شعبے میں ماہرکرسٹوف گالفارڈ، خود کی طالب علمسٹیفن ہاؤకింగ్، نے کہا کہ "ہم نے ٹیلیסקوبوں سے جو کیهان دیکھاہے وہ محدود ہے۔ لامحدود صرف ریاضی میں موجود ہے۔"
یہ ایک تنازعہ اور شاید کسی سائنسدان کے لیے ایک جرأت آمیز بیان لگتا ہے۔ لیکن یہ درست بھی ہے کہ ہم اپنی روزمرین زندگی میں شاید لامحدود کا لفظ بہت ہلکے سے استعمال کرتے ہیں۔
زندگی کی بے حد
بہت سے ہمارے قارئین اور والدین، خاص طور پر نوجوانوں کے، یقیناً ان کے ساتھ (یا شاید ہم ان کے ساتھ) بہت صبر کا مظاہرہ کرتے ہیں (یا شاید ہم ان کے ساتھ؟). جب کوئی کمیونٹی یا ورکنگ میٹنگ سست ہو جاتی ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ یہ بہت طویل اور بے حد لگتی ہے۔ اور جب ہم کسی شخص سے بات کرنے کے بجائے، کسی چیٹ بوت سے بات کرنے کے لیے فون پر بے حد انتظار کرتے ہیں، تو وہ کیا کہتے ہیں؟ یہاں تک کہٹوی اسٹورییہ ہمیں یاد دہانی دیتے ہیں کہ ہمیں "بے حد اور مزید" جانا چاہیے۔
عام طور پر، جب ہم یہ لفظ استعمال کرتے ہیں، تو ہم کسی بھی غیر معمولی حد، ایک بہت بڑی تعداد کی بات کر رہے ہوتے ہیں۔ تاہم، ریاضی میں یہ بالکل نہیں ہے۔
بے انتہا ریاضی میں
بے انتہا ریاضی ایک عدد نہیں، یہ ایک تصور ہے۔ ہم سب جانتے ہیں کہ کیسے گنتی کرنا ہے: 1، 2، 3... اس کے لیے، ہم اعداد کا استعمال کرتے ہیں، جنہیں ریاضی میں اصطلاح کے طور پر اعدادِ طبیعی کہا جاتا ہے۔ لیکن کیا آپ مجھے بتا سکتے ہیں کہ آپ کو کون سے سب سے بڑا عدد معلوم ہے؟ حقیقت میں، یہ ایک گمراہ کن سوال ہے، کیونکہ جیسے ہی کوئی بہت بڑا عدد آپ کے ذہن میں آئے گا، اگر آپ میں "ایک اور" کا اضافہ کریں، تو آپ کو ایک اور بڑا عدد مل جائے گا۔
اس نقطہ نظر سے، ہم کہہ سکتے ہیں کہ بہت سے اعداد موجود ہیں (یونانی کلاسیک -خاص طور پر ارسطوکہتے ہیں کہ "کوئی بھی عدد ہے جو ہم تصور کر سکتے ہیں، اس سے زیادہ اعداد موجود ہیں۔") ایک دوست کی بیٹی - ریاضی کی مشہور شخصیت اور ماہرہ Clara Grima - نے صرف 9 سال کی عمر میں کہا کہ "بے انتہا وہ چیز ہے جسے آپ، ریاضی دان، اس وقت سے بنا چکے ہیں جب آپ نے گنتی کرنا چھوڑ دیا۔"
سچ یہ ہے کہ یہ جملہ بالکل درست ہے۔ کیونکہ ایک چیز یہ ہے کہ ایک مجموعہ (یا اعداد) لامحدود ہو سکتا ہے اور دوسری یہ ہے کہ ہم یہ کہ سکتے ہیں کہ ان میں سے بیکار تعداد ہیں۔ یہ سوچ کا طریقہ بہت سے مسائل پیدا کرتا ہے... جس کا پیشگواری ارسطو نے کی تھی جب انہوں نےکی مفهومِ ممکن اور موجودِ کی.
پہلی کا مطلب ہے لامحدود: یہاں ایسی چیزیں ہیں جو آپ کی کسی بھی تخمین سے زیادہ ہیں۔ یہ خیال ہمارے منطق میں فٹ ہے۔ ہماری شناخت اسے قبول کرنے کے لیے تیار ہے۔ لیکن، موجودِ کی کے ساتھ، یہ ایک اور کہانی ہے۔ یہ وہ چھلانگ ہے جو ہمیں یہ کہنے کے لیے کرنا ہوگی کہ "بیکار عدد" ہیں۔ کیونکہ، اگر ہم یہ کہ لیں کہ اعداد کی مجموعہ لامحدود ہے، تو پھر "غریب چیزیں" شروع ہو جائیں گی۔ پہلی یہ ہے کہ اس سوال کا جواب دینا: اعداد کی مجموعہ اور عدد کی مجموعہ میں سے زیادہ کیا ہے؟
سب سے زیادہ امکان ہے کہ ہمارا خیال یہ آئے کہ "عدد کی مجموعہ عدد کی مجموعہ سے دو برابر ہے۔ کیا آپ یقین رکھتے ہیں؟
لامحدود کی شکلیں
فرض کریں کہ ہم اعداد کو ایک ٹوک میں اور جوڑے کو دوسری ٹوک میں رکھتے ہیں۔ پہلی ٹوک سے، ہم ایک عدد لیتے ہیں۔ پھر، ہم دوسری ٹوک میں اس کا دو برابر تلاش کرتے ہیں اور انہیں ملاتے ہیں۔ اگر ہم یہ فرض کریں کہ یہ عمل کبھی کبھار ختم ہوتا ہے، تو دونوں ٹوک بیک وقت خالی ہو جاتے ہیں۔ اگر، بجائے اعداد کے، ہم چمچ اور چنگل کا استعمال کریں، تو ہر ٹوک میں یقینی طور پر ایک ہی تعداد ہوگی۔ کیونکہ اعداد کے ساتھ بھی یہی ہوتا ہے۔
عجیب، ہے؟ لیکن یہ کہانی یہاں ختم نہیں ہوتی۔ 19 ویں صدی کے آخر میں، ایک جرمن ریاضی،جورگ کانتور،نے ثابت کیا کہ، اگر ہم موجودہ بے حد کو مکمل طور پر قبول کریں، تو ایک سے زیادہ بے حد ہیں۔ کتنے؟ کسی بھی تعداد سے زیادہ جو ہم تصور کر سکتے ہیں۔
اپنے ساتھدیجنالائزیشن کا، کانتور نے ثابت کیا کہ اعداد کی نامحدیت، جو شمار کے لیے استعمال ہوتے ہیں، اعداد کی نامحدیت سے کم ہے، جو کسی قطرے میں موجود نقطوں کی تعداد سے آتی ہے، تناسب۔
اور ان بعد، جنون... نہ صرف کی، بلکہ اس کی خالق کی بھی، کیونکہ کانتور نے متعدد بار افسردگی اور психіاتی اداروں میں داخل ہونے کے بعد انتقال کر لیا۔ اس کا یہ کہ اس کے انقلابی خیالات کو اس وقت کے کچھ ریاضی دانوں نے، جن میں سے ایک اس کے اساتذہ میں سے ایک برلن میں، شدید طور پر رد کیا تھا۔لیوپولد کرونکر, جس نے لکھا تھا کہ کانتور ایک "چارلٹان" ہے۔اور اس کے خیالات ریاضی کے بجائے "سیرک" کے لیے زیادہ مناسب ہیں۔
آج کی دنیا میں لا محدود
آج ہم تمام чином کانٹر کے کام کی تعریف کرتے ہیں اور اس وقت کا جشن مناتے ہیں جب انہوں نے "اس لا امکان کی جنت" کی تخلیق کی ہے، جس سے کسی بھی شخص کو ہمیں اس سے نکالنے میں کامیاب نہیں کیا جا سکے گا۔ڈوید ہیلبرٹ، ایک ریاضیاتی، 1925 میں کہا تھا.
اس کے نتیجے میں، "بے انتہا" ایک اور ریاضیاتی تصور بن گیا۔ یہ کوئی عدد نہیں ہے، یہ کوئی فاصلہ نہیں ہے... یہ وہ طریقہ ہے جس سے ہم، ریاضی دان، اپنے ذہن کی حدود سے تجاوز کرنے، اور اس کے ساتھ کام کرنے کے لیے، بغیر جنون کا شکار ہوئے، ایک طریقہ تلاش کرتے ہیں۔
بے انتہا کے بغیر، ہمinfinitesimal حساب، مثلاً۔ بعد از کشف همزمان توسط بزرگانایزاک نیوتناورگوتفرڈ لیبنز، این ابزار به وضعیت فعلی خود به لطفحد کی، جو صرف یہ خیال ہے کہ ہم جتنی چاہیں قریب جا سکتے ہیں، لیکن بغیر رابطہ کیے۔ اور، انٹیگریل کی حساب اور اس کے طاقتور ٹولز (جیسےدیفرینشیل معادلات) کی بدولت، ہم نہ صرف ایک الیکٹرون کے رویے کو کنٹرول کر سکتے ہیں، بلکہ چاند پر قدم رکھنے یا ہماری شمسی نظام سے باہر ایک سائنس بھی بھیجنے میں کامیاب ہو جاتے ہیں۔
لیکن کیا واقعی میں کچھ نامعلوم چیزیں موجود ہیں؟
اوپر بیان کردہ ہر چیز کو یوں مختصر کیا جا سکتا ہے: بے حد کا مطلب ہے بہت بڑا (یا بہت چھوٹی چیز)۔ یہ کوئی عدد یا فاصلہ نہیں ہے۔ یہ ایک تصور ہے جسے ہم اپنی مرضی سے بڑھا سکتے ہیں... اور اسے جتنی دور بھی لے جا سکتے ہیں۔
ریاضی میں، حدود صرف ہمارے تخیل سے طے ہوتی ہیں۔ تاہم، фізиک میں - یعنی ریاضی کو حقیقی زندگی میں لگانا - ہماری دنیا کے لیے مخصوص حدود ہیں۔
اس لیے، اگر ہم اپنی زندگی میں حقیقی طور پر بے حد کو تلاش کرنا چاہتے ہیں، تو ہمیں صرف ایک مخصوص جگہ پر تلاش کرنی ہوگی: ایک ریاضی دان کا ذہن۔
شاید بے حد واقع میں موجود نہ ہو، لیکن ریاضی کے ذریعے اس کا مطالعہ کرنا، ہمارے اردگرد کی دنیا کو سمجھنے کے لیے ضروری ہے: انتہائی بڑی سے لے کر ناقابل یقین حد تک چھوٹی چیزوں تک۔ بنیادی سائنس کے متعلق...
جوزے آنتونیو پرادو باساس کوئی مشورے نہیں دیتے، وہ کام کرتے ہیں، کسی بھی کمپنی یا تنظیم کے پاس اس مضمون کے شائع ہونے سے فائدہ ہونے والے کسی بھی ادارے سے کوئی رقم نہیں لیتے، اور وہ صرف اپنی علمی حیثیت کے علاوہ کوئی اہم تعلق نہیں ظاہر کرتے۔